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Momentos y productos de inercia

Se define momento de inercia de un sistema respecto a un eje, plano o punto como la suma de las masas de las partículas por los cuadrados de las distancias a dichos elementos geométricos. Los elementos ($ I_x$, $ I_y$, $ I_z$) de la diagonal principal de la matriz $ M$ son los momentos de inercia respecto a los ejes $ AX$, $ AY$ y $ AZ$.

Se define producto de inercia de un sistema respecto a dos planos como la suma de las masas de las partículas por el producto de las separaciones a ambos planos. Se considera que la separación a un plano es positiva a un lado del plano y negativa al otro. Los elementos ($ P_{xy}$, $ P_{xz}$, $ P_{yz}$) fuera de la diagonal principal de la matriz $ M$ son menos los productos de inercia respecto a los pares de planos formados entre $ AXY$, $ AXZ$ y $ AYZ$. Se tiene:

$\displaystyle M\equiv \begin{pmatrix} I_x & -P_{xy} & -P_{xz} \\ -P_{xy} & I_y & -P_{yz} \\ -P_{xz} & -P_{yz} & I_z \\ \end{pmatrix}$

En general, es necesario recurrir al calculo integral para calcular los momentos y productos de inercia de solidos. Sin embargo, las siguientes relaciones, llamadas relaciones fundamentales (obvias si uno considera los ejes de coordenadas y planos perpendiculares a ellos por el origen) facilitan frecuentemente el cálculo:

  1. El momento de inercia respecto a un eje es la suma de los momentos respecto a dos planos perpendiculares que se cruzan en él.
  2. El momento de inercia respecto a un punto es la suma de los momentos respecto a tres planos perpendiculares que pasan por él.
  3. El momento de inercia respecto a un punto es la semisuma de los momentos respecto a tres rectas perpendiculares que pasan por él.
  4. El momento de inercia respecto a un punto es la suma de los momentos respecto a un plano que pasa por él y respecto a una recta perpendicular al plano y que pase por él.
  5. Los productos de inercia son nulos si uno de los dos planos es un plano de simetría.
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