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Movimiento relativo: Generalidades

En Física, dado que los observadores en general están en movimiento unos respecto de otros, es importante determinar como hay que expresar las relaciones de las magnitudes en consideración en diferentes sistemas de coordenadas que están, en general, moviéndose uno respecto de otros. En este capítulo de la cinemática nos interesamos, por tanto, en ver como se relacionan las magnitudes (posición, velocidad y aceleración) expresadas en diferentes sistemas de coordenadas.

El esquema general del problema lo podemos fijar observando el dibujo, que muestra un sistema de referencia que suponemos fijo (X,Y,Z) y otro que se supone en movimiento respecto de él (X’,Y’,Z’).

De la figura se deduce inmediatamente que
MATH

Derivando sucesivamente respecto del tiempo tenemos que

MATH

y

MATH

 

La evaluación de estas expresiones la vamos a realizar a partir de casos particulares sencillos, para finalmente llegar a una expresión general.

Movimiento relativo de traslación uniforme.

Supongamos primero que los sistemas de referencia O y O’ se mueven el uno respecto del otro con velocidad constante y de modo que los ejes mantienen continuamente sus orientaciones relativas. Más aún, supongamos que los ejes X y X’ son colineales y los ejes Y e Y’ y Z y Z’ son paralelos, de tal manera que un sistema de referencia se mueve respecto del otro con una velocidad constante en módulo que denotamos por MATH.

Si suponemos, por simplicidad que en t=0 los orígenes coincidían tenemos que podemos expresar la relación entre r y r’ como

MATH

es decir, expresándolo en componentes

MATH

MATH

MATH

Si añadimos a estas ecuaciones

MATH

Ya que se ha dicho antes que en Mecánica Clásica se supone el tiempo absoluto, esto es, independiente del sistema de referencia, se tienen lo que se llaman las transformaciones de Galileo, y que son la expresión de como pasar de un sistema de referencia a otro en el caso de traslación uniforme.

Derivando las ecuaciones respecto del tiempo para encontrar la velocidad tenemos:

MATH

y
MATH

Derivando la ecuación entre r y r’ tenemos entonces que
MATH

Que muestra la relación entre las velocidades en los sistemas de referencia con y sin primas(‘).
Derivando la expresión anterior para obtener la velocidad se tiene

MATH
Que muestra que la aceleración medida por uno y otro observador situado en cada uno de los sistemas de referencia es la misma.

Movimiento relativo de rotación uniforme.

Consideremos ahora dos sistemas de referencia con un origen común que giran con una velocidad angular MATH uno respecto de otro.

Resulta claro del dibujo que la posición de cualquier punto viene descrita por r o r’, que resultan ser el mismo vector

MATH

Aunque cada uno de ellos se expresa en su sistema de coordenadas.

MATH

MATH
siendo claro por lo anterior que

MATH

Derivando en esta ecuación respecto del tiempo tenemos

MATH

(*)

donde es importante notar que al girar los vectores unitarios del sistema en movimiento respecto es preciso contemplar sus derivadas temporales, lo que da origen a los tres últios términos.

Para evaluar las derivadas de los vectores unitarios, que simplemente iran sin cambiar su tamaño, recordemos que vimos que

MATH y por tanto en el sistema móvil MATH

Esto es válido para todos los vectores. En particular para los vectores unitarios se tiene

MATH

MATH

MATH

Luego podemos poner

(*)= MATH

y sustituyendo en la derivada respecto del tiempo de MATH

MATH

Esta es la expresión que relaciona las velocidades en uno y otro sistema de coordenadas.

La Aceleración.

Derivando la velocidad tenemos lo siguiente
MATH
Por otro lado,derivando en la expresión hallada para la relación de las velocidades en uno y otro sitemas de coordenadas tenemos

MATH

Como MATH es constante frente al tiempo

MATH

Veamos pues como calcular la MATH

MATH

MATH (**)

Las derivadas de los vectores unitarios las hicimos arriba MATH , de modo que

(**)= MATH

y por tanto

MATH

Sustituyendo las ecuaciones MATH y MATHen MATH tenemos finalmente

MATH

En muchas ocasiones lo que nos interesa es conocer la MATH cuando conocemos MATH. Entonces la fórmula a usar es

MATH

Donde hemos hecho uso de que en este caso (movimientos sólo de rotación) MATH

El término MATH se denomina aceleración de Coriolis y como veremos tiene mucha importancia en una serie de situaciones habituales en la superficie de la Tierra.

El término MATH se denomina aceleración centrífuga y tiene así mismo mucha importancia práctica.

Movimiento relativo en el caso general.


Una vez vistos los casos particulares de traslación y rotación no es difícil convencerse que el caso general puede obtenerse simplemente de permitir en nuestras expresiones que tanto MATH como MATH puedan depender del tiempo. Fácilmente se obtiene entonces que

MATH

MATH

y

MATH

Donde los dos términos adicionales dan cuenta de la posible dependencia de MATH y MATH respecto del tiempo.

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